好数学都是玩出来的这些数学证明你能会几

科学抗白北京中科技术精湛 http://pf.39.net/bdfyy/bdflx/171126/5877525.html
数学中有这样的问题，一开始似乎很难找到答案，然后——几小时、几天、几个月、甚至几年之后——答案变得异常简单。让我做一个类比，并给出一个类似数学的例子。一列火车以每小时公里的速度从北京开往上海，一小时后第二列火车以每小时公里的速度从上海开往北京。请问当它们相遇时哪趟车离北京近？对于这个问题的答案，你不需要进行深入的计算。当两列火车相遇时，它们离上海、北京甚至月球都是同样的距离！约翰·冯·诺伊曼是一位伟大的数学家，他生活在20世纪上半叶，几乎对数学的每个分支都做出了贡献。他是第一批将电脑计算机的概念变为现实的人之一。他对集群理论和分析理论做出了重大贡献。他还为博弈论奠定了基础。冯·诺依曼对数学做出了如此多的贡献；几乎没有他没有研究过的领域了。冯·诺依曼的一个朋友问了这样一个问题：有两列火车在同一轨道上向对方驶来。在这两列火车之间，有一只苍蝇。当一只苍蝇碰到其中一列火车时，它会改变方向，飞向另一列火车。过了一会儿，它撞上了另一列火车，当然，它又改变了方向，朝第一列火车走去。它行驶在两列火车之间。当两列火车相撞时，苍蝇被压扁了。最初，两列火车之间有公里的距离，两列火车在同一时间出发，一列以每小时5公里的速度行驶，另一列以每小时15公里的速度行驶。苍蝇以每小时25公里的速度飞行。那么，苍蝇什么时候被压扁呢？一个无穷级数的复数项可以找到答案，这是标准的方法。然而，答案很容易找到。火车以每小时5+15——20公里的速度相互接近。由于两列火车最初相距公里，所以在/20=5小时后相撞。因此，苍蝇在5小时后被粉碎。冯·诺依曼思索了几秒钟，回答道：5小时后。问这个问题的朋友说；“你知道这个问题吧？”怀疑冯·诺依曼太快找到了答案。冯·诺依曼很惊讶。“你为什么这么说？”这是个很简单的问题。你所要做的就是把无穷无尽的级数加起来……”玩够了！在这篇文章中，我将给出一些我喜欢的数学证明例子。第一个问题：我们可以用不同的方法把自然数写成自然数的和。例如，3可以写成：或4可以写成：正如所见，我们可以用四种不同的方式写“3”，用八种不同的方式写“4”。那么，自然数n有多少种不同的写法可以写成自然数的和呢？问题一的答案：找到正确答案并不难。试过几次之后，我们知道“n”可以写成2^(n-1)种不同的写法。让我们先举个例子来解释为什么这个答案是正确的。我们来看看有多少种方法可以把“6”写成自然数的和。让我们把6表示成6个1。现在我们可以把等式“6=4+2”表示为

11，把等式“6=3+1+2”表示为

1

11。这种表示法意味着将6写成自然数的和意味着在6个1之间放置一个管道符号。在六个1之间我们可以放置多少个管道符号？我们有五个地方可以放置管道符号。我们可以或不可以在这5个地方都放置管道符号。因此，每个地方都有两种可能性：是否放置管道符号。因此，我们有2^5=32种不同的方式把6写成自然数的和。任何自然数“n”的答案都可以从上面的讨论中得到。我们可以用2^(n-1)的不同方式把n写成自然数的和。为什么？因为我们可以在1之间放置管道符号，所以每两个1之间有两种选择：放置管道符号或不放置条。此外，我们只能放n-1条因为它必须在1之间。第二个问题(维维亚尼定理)：证明等边三角形中每一点到三条边的距离之和总是相等的。证明第三个问题：我们称等边三角形为ABC。设三角形的边长是a，高是h，所以三角形的面积是ah/2。我们取三角形中的任意一点，称它为P。我们称P到边的距离为：x,y,z。如果我们在P和A,B,C之间画三条线，我们把三角形分成三个小三角形：APC,CPB，和BPA。这些三角形的面积分别是ax/2,ay/2,az/2。所以这三个数的和一定是三角形ABC的面积ah/2如果我们化简，我们得到x+y+z=h，这意味着点P到边的距离是h，我们注意到这个数与P无关。第四个问题：众所周知的拉格朗日四平方定理，每个自然数都可以表示为四个整数平方的和。其中四个数字是整数。例如，可以这样写：63=5^2+5^2+3^2+2^2。假设这个定理是正确的（是对的），证明每个正分数都是四个分数的平方和。第四个问题的证明：设“k”为正数和小数。对于两个自然数a和b，“k=a/b”是正确的。ab是自然数，ab是四个自然数的平方和，比如是x，y，z和t的平方和：ab=x+y+z+t。现在我们可以证明k是四个分数的平方和第五个问题：考虑以下无限序列：-2、4、-8、16、-32、64、-……这个序列是递增和递减的。如果从这个数列中去掉负数，就得到一个递增数列。换句话说，序列4、16、64、……是第一个序列的递增子序列。现在，让我们得到一个无限的实数序列：证明了这个序列有一个无限子序列，这个子序列既不减也不增。用更数学的术语，证明这个级数中有无穷多个矩项，第五个问题的证明：如果序列中的一项大于它后面的每一项，我们称它为大项。换句话说，如果a_n使这个条件成立：我们称它为大项。我们有两种选择：级数中有无限项或有限项。如果有无穷多个更大的项，这个数列就是一个永远不增加的无穷数列。如果有有限的更大的项，我们来看看序列的最后一个更大的项后面的项。这些项不能再大了。所以在每一项之后，我们可以找到一个更大的项。例如，让a_n是序列的最后一项。a_n+1是子序列的第一个数字。当a_n+1不是一个更大的项时，在a_n+1之后会有一个更大的项。这一项就是子序列的第二项。因为我们的第二项不是更大的项，所以在我们选择的第二项之后会有一个更大的项。这样，我们可以继续到无穷，得到一个无限增长的序列。第六个问题：让n为任意整数，考虑这个分数证明无论n是多少，这个分数的表示都不能被简化。第六个问题的证明：事实上，我们被要求证明21n+4和14n+3的最大公约数是1，也就是说，这两个数是质数。让我们证明！设“p”是一个自然数，它能将这两个数相除。我们需要证明p=1。数字21n+4除以p，对于整数a，是成立的。数字14n+3也除以p。因此，对于整数b，是成立的。我们把这些方程写下来：现在把第一个方程乘以2第二个方程乘以3：用第二个方程减去第一个方程，然后;这个方程右边的数等于(3b-2a)p，因此除以p，所以方程左边的数也必须除以p，所以1应该除以p，所以p=1。我们证明了想要的一切！

转载请注明：http://www.abuoumao.com/hyfz/7387.html